摘要：采用同轴数字全息技术测量研究粒子场，其高分辨力的再现像和粒径高精度测量受到诸多因素的影响。本文简要介绍了同轴数字全息的基本概念、原理、方法及其在粒子直径测量中的应用，主要通过计算机仿真研究了记录距离和粒子浓度这两个因素对粒径测量精度的影响，给出了记录距离的范围，同时提出了基于灰度梯度提取粒子边缘进行粒径测量的方法，并通过实验进行了验证。

　　1 引 言

　　数字全息术，继承了传统光学全息的基本思想，但对全息图的记录、存储和再现手段进行了巨大的变革。数字全息术一般采用 CCD 记录全息图，替代了普通全息记录材料，采用计算机数值模拟再现所记录的物场，实现了全息图记录、存储、处理和再现全过程的数字化，给全息术的发展和应用增加了新的方法，有利于进行定量分析和测量，也有利于实现过程的实时化。因此，数字全息在光测量等领域具有潜在的应用价值。近年来这一技术及其应用研究得到很大发展，已有大量的文献报道了在这一领域的研究成果，如数字相移全息术[1]、数字显微全息术[2]和数字干涉全息术[3]等。主要应用于 3D 物体识别[4]、颗粒场测试[5]、燃烧、爆炸、超音速风洞等复杂流场的显示与测量等领[6]。为深入研究数字全息在微观测量领域的潜在应用，高分辨力的再现像和高测量精度成为目前数字全息测量领域两个主要挑战性的问题[7]。

　　由于CCD 分辨率远低于传统的感光记录介质，分辨率在200 lines/mm 以下，从而限制了参考光与物光波的记录范围在1°左右，因此，对于颗粒场的测量主要采用同轴光路记录系统[5]。然而，获得高分辨力的再现像和高测量精度还受到诸多因素的影响，如记录距离、粒子尺寸、CCD 分辨率、CCD 尺寸和颗粒场浓度等因素。其中记录距离和粒子浓度这两个因素对粒子直径测量精度的影响很大，为此，本文主要讨论了这两个因素对粒径测量的影响，并做了大量的数值仿真实验进行了验证。

　　2 粒子场全息图的生成与再现

　　粒子场测量中通常采用同轴全息记录光路，如图1所示。对物平面η ξ，在粒子的投影截面内，光被遮挡，在投影截面外，光可以透过，被粒子衍射的光波以及未被扰动而直射的平面波，在记录平面 x-y 上产生干涉而被记录下来。当用波长为λ 的单位振幅单色相干平面光波照射全息图时，则在距离全息面z′=z 处生成粒子场的再现像。

　　根据 Fresnel-Kirchhoff 原理，当 z 满足菲涅耳近似衍射条件时，距离物平面为 z 处衍射像场的光场分布与原始物场之间的关系可以用菲涅耳衍射公式表示。其中的菲涅耳衍射积分可写成卷积形式[4]，即：

　　3 影响因素分析

　　3.1 可允许记录的最大空间频率

　　根据文献[8]，同轴全息的粒子干涉图样是一族同心圆，当参考光为平面波的情况下，相应干涉条纹的半径和空间频率分别表示为

　　在下面的数值模拟中设CCD 芯片大小为L×L，像素尺寸x= y，则能完整记录的最大干涉条纹直径为L。因此由式(3)可知，当记录距离z 为定值时，CCD 记录平面上所能记录的最大干涉条纹数为

　　最大干涉条纹数 nmax指明了全息面(CCD)存储粒子场信息的能力，在记录过程中CCD 实际上起到了低通滤波作用。因此，nmax指出了CCD 所能记录粒子干涉图样的高频信息的能力。由式(4)和(5)可以得到最大记录空间频率为

　　3.2 记录距离的影响

　　式(5)给出了最大干涉条纹数nmax与光波波长λ、记录距离z 和CCD 芯片尺寸L 之间的相互关系。最大干涉条纹数 nmax与记录距离 z 成反比关系，由此可知越小的记录距离可以获得越多的干涉条纹数，即可以获取粒子干涉条纹高频信息的能力越强。根据采样定理，要使物体的所有信息能被CCD 记录，则必须满足干涉条纹的最大空间频率必须小于CCD 截止频率，即：

式(8)说明在x、L 和λ 三个参数恒定的情况下，同轴全息的记录距离必须大于某一常数，可定义为最小记录距离：

　　通常流场中的固体颗粒或液体雾滴具有的尺寸一般都在微米到毫米数量级范围内，在进行全息记录时，为避免记录介质对颗粒场的干扰，在满足式z ≥ zmin的前提下，记录介质距离颗粒不能太近。一般来说，为了能足够清晰地记录颗粒，就必须记录到颗粒的三阶以上衍射波，即要求nmax≥ 3。代入式(5)得到最大记录距离为

　　为了进一步探讨记录距离对粒径测量精度的影响，利用 Matlab 7.0 软件工具首先对一个直径为300 μm的球形粒子进行计算机仿真。选取全息图像分辨率为1 024 pixels×1 024 pixels，像素尺寸为5 μm×5 μm，即L 为 5.12mm，仿真光波的波长为632.8 nm，由式(9)和(10)分别计算得到最小记录距离zmin和最大距离zmax分别为 0.04 m 和1.73 m。

　　如图2 所示，对记录距离在0.05 m、0.1 m、0.2 m、0.4 m 和0.8 m 的5 种工况下的粒径测量进行了计算机仿真研究。图2(a)为5 种工况下的粒子全息图，从中可以看出在z=0.05 m 时，全息图中记录的条纹数非常多。当 z 逐渐增大时，记录的条纹数逐渐减少，与式(5)中的描述相吻合。图2(b)为5 种工况下的粒子数值再现图，图2(c)为 5 种工况下的粒子数值再现图的灰度等级分布。从中可以看出随着z 的逐渐增大，粒子数值再现图的背景噪声也随之增大，而直透光的影响越来越明显，造成粒子再现像的边缘对比度在降低，信噪比降低。

　　由于粒子边缘与图像背景之间具有较高的对比度，因此根据再现像中灰度变化率可得到粒子边缘在图像中的位置。经仿真研究，发现粒子边缘任意点的灰度梯度总是该行或该列中最大的，通过逐行或逐列扫描再现图像，计算出相邻像素之间的灰度变化率，在每行或每列中找到灰度梯度最大，同时符号相反的两点作为粒子的边缘点，然后将得到封闭的粒子边缘。之后可以计算封闭区域内的面积得到再现粒子的直径。观察图2(c)，可以看到粒子再现像边缘附近像素点的灰度较低，为减小计算量，可设定图像平均灰度值的70~90%作为灰度阈值。只有当图像中的像素灰度小于灰度阈值时才计算灰度梯度。经大量仿真研究，灰度梯度的绝对值在25%~40%的点作为粒子边缘点比较合适，取值太小，图像背景噪声的影响会发生误判，而取值太大会找不到边缘点，如图2(b)中z>0.4 m 的情况。为降低背景噪声的影响，可先对图像进行中值滤波处理，但同时会在一定程度上降低边缘的对比度。而直透光为直流分量，可以通过频谱滤波将其去除。

　　根据上述方法编写出粒径测量程序，对图2 中的5 种工况下单个粒子的粒径进行了测量。提取出粒子边缘经填充后的结果如图3 所示，然后计算出再现粒子的直径。在z ≤ 0.4 m 的情况下，测量得到的粒径为300 μm，没有误差;z = 0.4 m 时，测量得到粒径为 298 μm，误差0.6%;z = 0.8 m 时，去除直透光测量得到粒径为295 μm，误差1.67%，未去除直透光测量得到粒径为287 μm，误差4.33%。由此可以看出，随着记录距离的增大，数值再现粒子的直径测量精度在降低，对图像处理技术的要求也在提高。

　　为了验证该方法的适用性，对单个粒子的粒径测量进行了实验研究。图4 是平均直径为 1 200 μm 的颗粒的同轴全息图及其数值再现像，以及提取出的粒子。CCD 分辨率为2 032 pixels ×1 520 pixels，尺寸为 1.00cm ×0.748 cm，选用He-NI 激光器，波长为632.8 nm，记录距离为z = 0.25 m。应用上述方法测得粒子平均直径为 1 192 μm，误差0.67%。

　　3.3 粒子浓度的影响

　　粒子场中粒子的分布通常较为复杂，其浓度的大小对数值再现进行粒径测量影响非常大。本文选取两种工况进行了仿真研究，工况一是在5.12 mm×5.12 mm ×1 mm的三维空间中(其对应的横向分辨率是1 024×1 024)生成直径为50 ~100 μm 的50 个小球体，纵向等间距分布在5 个层面上，每层为10 个粒子，粒子浓度为1.9 个/mm3。工况二是在5.12 mm×5.12 mm ×0.25 mm 的三维空间空间中(其对应的横向分辨率是1 024×1 024)生成直径为50 ~100 μm 的50 个小球体，纵向等间距分布在5 个层面上，每层10 个粒子，粒子浓度为7.6 个/mm3。通过数值计算可以得到相应粒子场的同轴全息图，其中仿真光波为 632.8 nm，记录距离z 为0.1 m，以对象空间的纵向中截面为基准。图5(a)给出了工况一在 z=0.1 m 时相应粒子的数值再现像，图5(b)为提取出的粒子，测量得到的粒径误差最小为 0.83%，最大为 7.4%，误差最大容易产生在测量直径最小的粒子上。图5(c)给出了工况二在 z=0.1001 m 时相应粒子的数值再现像，图5(d)为提取出来的粒子，从图中可以观察到有些提取出的粒子边缘不封闭，有个别粒子由于靠得非常近，在粒子边缘提取时会将非聚焦粒子的边缘也提取出来，给聚焦粒子粒径测量造成较大影响，降低测量精度，甚至无法进行测量。因此，对粒子浓度较大的情况不能仅通过聚焦再现像直接测量，还必须辅以深度方面的信息才能计算得到相应的粒径，对此另文详细论述。采用上述方法仅通过聚焦再现像直接测量得到的误差最小为0.79%，最大为18.1%，有1 个粒子没有检测到。因此，粒子浓度越大，测量精度会越低，需要多种信息融合以提高粒子的精确测量。

　　3.4 其它因素的影响

　　根据式(6)可知，记录光波波长 λ 越小CCD 芯片尺寸 L 越大，CCD 所能记录粒子干涉图样的高频信息的能力越强。同样，CCD 分辨率的提高对增强记录粒子干涉图样高频信息的能力作用明显。当颗粒场中颗粒的粒径分布不均时，有可能小尺寸的颗粒在CCD 上不能被完全记录，它们在全息图上的干涉条纹的对比度下降、分辨率降低，这样小尺寸的颗粒像在再现时就会湮没。另外，CCD 对曝光量要求在一定范围内，其感光器件的位数越高，则曝光量的范围越宽，允许亮暗对比度就越大。

　　为了充分利用CCD 器件的动态范围，原则上要求CCD 光敏面上任何光敏单元上的曝光量均应低于饱和曝光量，因此需要调节曝光量[9-10]。控制曝光量可调整光源的光强和曝光时间，对拍摄粒子场的动态全息图像，可应用短的曝光时间和强的光源，比如用瞬态红宝石激光器。在高速粒子场检测中，为了将粒子场的某一时刻的信息冻结在CCD 存储的全息图中，必须使用脉宽极短的激光曝光来形成全息图。

　　4 结 论

　　获得粒子场高分辨力的再现像和高测量精度受到诸多因素的影响，如记录距离、粒子尺寸、CCD 分辨率、CCD 尺寸和颗粒场浓度等因素。本文主要通过仿真和实验研究了记录距离和粒子浓度这两个因素对粒径测量精度的影响，并给出了基于灰度梯度提取粒子边缘进行粒径测量的方法。一般来说，CCD 的光敏面尺寸及分辨率是固定不变的，光波波长 λ 也是定值，因此再现像的分辨率就只与记录距离 z 有关。当 z 越小，数字再现像的分辨率就越高。满足记录采样和再现的 z 有一个最小值，让记录距离大于但尽可能接近最小值是提高粒径测量精度的一个有效途径。粒子浓度的增大会降低粒径测量的精度，通过聚焦再现像粒子边缘提取，然后辅以深度方面的信息精确定位粒子的三维坐标，这样才能提高在较高浓度下粒径的测量精度。

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　　基金项目：上海市教委发展基金资助项目(05LZ12)

　　作者简介：李志斌(1974-)，男(汉族)，山西太原人，副教授，博士研究生，主要研究工作是数字全息、图像处理及软件编程。E-mail: thermal_li@163.com

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