祝长生,钟志贤(浙江大学电气工程学院,浙江杭州310027)

　　摘要:从理论上分析了带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统的动力特性,讨论了裂纹对带主动电磁阻尼器的转子系统稳定性及不平衡响应特性的影响。结果表明,带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统的动力特性比无控制系统的传统裂纹转子系统的特性更为复杂。如果在主动电磁阻尼器控制系统的设计时没有考虑到裂纹的影响,那么在一定的条件下裂纹会导致带主动电磁阻尼器的转子系统失去稳定性。在转子系统中采用对转子振动高效的控制策略可能隐藏了转子系统中存在裂纹的特征,不利于裂纹的诊断。当转子系统的振动被主动电磁阻尼器完全控制时,在带主动电磁阻尼器的转子系统中只能够利用亚临界转速区响应中的2倍和3倍超谐波成份来作为诊断裂纹的指标。

　　关键词:主动电磁阻尼器;转子;裂纹;诊断;稳定性

　　中图分类号: TH113; O347.6　　文献标识码: A　　文章编号: 1004-4523(2010)03-0298-07

　　引　言

　　带主动电磁轴承的旋转机械可以通过主动电磁轴承对转子系统的振动和稳定性进行在线控制,使转子系统的动力特性满足了在不同工作状态下的要求。随着主动电磁轴承技术的进一步发展,智能旋转机械由于可以保证旋转机械在最佳的状态下运行,已成为了一个新的研究方向[1]。

　　智能旋转机械的关键是要对带执行器的主动转子系统的故障能够进行有效地诊断。只有转子系统的故障被准确诊断,系统才能遵循正确的调整过程。

　　为了准确地诊断故障,必须研究主动转子系统的故障特征。主动转子系统的故障特征与传统转子系统的故障特征有许多不同,但是目前对主动转子系统的故障特性还缺乏了解。

　　在转子运转一段时间后疲劳裂纹可能出现,如果裂纹未被及时发现,可能导致灾难性的事故。已经有许多学者研究了传统裂纹转子系统的动力特性和裂纹的诊断问题[1～10]。在这些研究中无论是采用简单的Jeffcott转子模型还是采用复杂的多轴承、多轴的转子系统[7～10],其基本结论都是一致的。随着主动转子系统振动控制技术的进一步发展,特别是主动电磁轴承在高速旋转机械上一系列成功的应用,越来越多的带主动反馈控制系统的高速转子正投入使用。另外,今后几年第一批安装了主动电磁轴承的高速旋转机械逐渐进入到寿命后期,转子的疲劳裂纹将会逐渐出现,因此必须了解裂纹对主动转子系统的稳定性和不平衡响应产生什么影响以及研究在主动转子系统中对裂纹如何进行有效的诊断。祝长生等通过对带主动反馈控制裂纹转子系统的动力特性进行了研究[11],结果发现主动裂纹转子系统的动力特征比传统裂纹转子系统复杂得多,其中有许多问题需要解决,如裂纹对控制系统稳定性的影响、主动裂纹转子系统的动力特性、主动反馈控制转子系统中裂纹的诊断方法以及控制器的设计等。

　　本文首先建立了带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统的动力模型,然后从理论上分析了裂纹对带主动电磁阻尼器的转子系统稳定性的影响,研究了带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统的不平衡响应,并提出了对带主动电磁阻尼器转子系统的裂纹故障进行诊断的方法。

　　1　带主动电磁阻尼器裂纹转子系统的数学模型

　　1.1　裂纹转子的数学模型

　　研究的转子系统为图1(a)所示的Jeffcott转子。圆盘安装在无质量柔性轴的中间,两端为刚性支承。主动电磁阻尼器安装在圆盘位置,以对圆盘的振动进行控制。横向裂纹位于靠近圆盘的轴处。

　　1.2　裂纹转子系统的运动方程

　　稳态运行条件下,转子系统在图1(b)所示的直角坐标系xoy中的运动方程为

　　式中　x和y为圆盘在固定坐标系xoy中的位移,K(t)为圆盘位置裂纹轴的刚度矩阵,m为圆盘的质量,c为圆盘处的粘性阻尼系数,eμ为圆盘的不平衡偏心距,β为圆盘不平衡力向量与裂纹最小刚度方向的夹角,g为重力加速度,ω为转轴的角速度,Fx和Fy分别为主动电磁阻尼器在x和y方向上的控制力。

　　1.3　裂纹模型

　　当裂纹轴转动时,在轴的自重作用下,裂纹在一个转动周期内会产生一次开闭,通常将裂纹的开闭过程被称之为“呼吸”[7～10],因此裂纹轴的刚度矩阵K(t)是非线性周期时变的。实际的“呼吸”裂纹模型非常复杂,一般情况下,裂纹轴在旋转动坐标系ξoη中的刚度被简化为

　　式中　kξ和kη分别为裂纹轴在裂纹最小刚度ξ和最大刚度η方向上的刚度,如图1(b)所示。kmξ(kmη)和Δkξ(Δkη)分别为裂纹轴在ξ(η)方向上的平均刚度和可变刚度。通过坐标变换可得到裂纹轴在固定坐标系上的刚度矩阵为

　　将式(2)代入式(3),简化后得

　　度。由于kη随裂纹深度的变化比较小,而kξ比较大。所以一般可以认为kη不随裂纹深度变化,而只有kξ随裂纹深度变化[7～10]。裂纹越深,kξ越小。

　　1.4　主动电磁阻尼器模型

　　在忽略磁饱和、迟滞、漏磁和涡流损耗等的影响后,主动电磁阻尼器的线性电磁力为[1]

　　式中　Ks和G分别为主动电磁阻尼器的位移刚度矩阵和电流刚度矩阵,ix和iy分别为x和y方向磁极的控制电流。对于4对极的主动电磁阻尼器,各刚度的计算公式分别为

　　式中　s为标称气隙,i0x和i0y分别为x和y方向电磁阻尼器的偏置电流,μ0=4π×10-7H/m为空气磁导率,N为线圈匝数,A为气隙横截面积。

　　1.5　裂纹转子系统的无量纲运动方程

　　将式(3)和(4)代入式(1),得到带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统在稳态条件下的运动方程为

　　给式(7)的两边同除以mω2δst,并令X=x/δst,Y=y/δst,U=eμ/δst,τ=ωt,其中δst=mg/k0为转子在其重力作用下盘处的变形,则可将其变为无量刚方程式

　　式中　ξ=c/2mωcr为粘性阻尼比,为无裂纹转子系统的一阶临界转速,Ω=ω/ωcr为转速比。

　　由式(7)可得,带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统的状态空间方程为

　　式中　A和B为系统的系数矩阵,为转子的状态矢量,为控制电流矢量,fe为包括转子不平衡力和重力在内的外力矢量,I为单位矩阵。分别为转子系统的无量刚质量矩阵和阻尼矩阵,

　　1.6　最优控制

　　在设计主动电磁阻尼器的控制器时一般并没有考虑到裂纹的存在,所以在这种情况下,式(4)中Δk=0,km=k0,因此(τ)为常数矩阵,且(τ)=diag(1)。

　　考虑二次型性能指标函数

　　式中　Q和R分别为状态矢量和控制电流矢量的半正定和正定加权对称矩阵。

　　根据最优控制理论得到使J最小的解为

　　式中　P为以下Riccati矩阵方程的解

　　如果系统矩阵[A,B]能控且[A,D]能观,D为满足DDT=Q的任意矩阵,那么就存在一个正定的矩阵P使控制系统渐进稳定且满足性能指标。因此采用反馈控制的最优控制力向量uopt为

　　式中分别为最优反馈刚度和阻尼增益矩阵。

　　将式(13)代人式(8)后,得到带主动电磁阻尼器裂纹转子系统的运动方程式为

　　由于带主动电磁阻尼器裂纹转子系统的运动方程为周期时变的非线性系统,无法得到精确解,因此需要采用数值的方法来分析裂纹转子系统的不平衡响应。本文采用定步长的4阶Runge-Kutta方法,计算中选择较小的时间步长和足够的使系统达到稳态所需要的时间,以保证计算的结果是转子系统的稳态响应。

　　由于带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统和传统裂纹转子系统的运动轨迹在许多转速区都是非同步的。因此文中用x和y方向上转子运动轨迹的均值来表示其在x和y方向上振动的大小。

　　2　转子系统的稳定性

　　无论是带主动电磁阻尼器还是不带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统,都是周期时变的线性系统。对这种周期时变线性系统的稳定性需要用Floquet理论来分析。

　　由式(14)可得带主动电磁阻尼器裂纹转子系统在无扰动情况下的运动方程为

　　写为状态方程的形式为

　　式中是周期为2π的周期系数矩阵。

　　由Floquet稳定性理论可知,为了判断系统的稳定性,需要计算周期时变系统在周期T=2π内的转移矩阵Γ(τ)。由于系统是周期的,则系统的状态q(τ)在一个周期后与原状态之间的关系为

　　如果转移矩阵Γ(τ)已知,系统的稳定性就可以由Γ(τ)的特征方程来确定

　　式中　μ为Floquet乘数,也表示系统稳定性的状态。如果每个特征值的模 u 都小于1,则系统是稳定的,否则系统就是不稳定的。

　　虽然周期时变系统的稳定性能够由系统的转移矩阵来确定,但是一般无法直接计算出多变量系统的转移矩阵Γ(τ),因此必须采用数值的方法来计算转移矩阵。为了得到Γ(τ),通常将周期T分为n等分,每等分为h=T/n,因而可以将H(τi)在每个等分[ih(i+1)h]内作为常数来看待,转移矩阵Γ(τ)在不同的时段可以利用Guilhen公式来计算[12],即

　　经过时间T的转移矩阵为

　　在得到转移矩阵Γ(τ)的数值解之后,带有主动电磁阻尼器的裂纹转子的稳定性就可以通过Flo-quet方法来分析。

　　3　计算结果及分析

　　计算中转子和主动电磁阻尼器的基本参数分别

　　为:m=5.0 kg,k0=106N/m,eμ=0.5 mm,i0x=ioy= 0.8 A,ksx=ksy= 1 000 N/mm,kix=kiy=-200 N/A。

　　3.1　裂纹对带主动电磁阻尼器转子系统的稳定性

　　在主动电磁阻尼器的最优控制器中,加权矩阵Q和R在满足正定的条件下可以任意选择。通常加权矩阵Q和R有不同的选择方法,本文Q和R均选择为对角阵,即

　　无裂纹转子系统的最优控制不仅可以使无裂纹转子系统渐进稳定,而且可以使性能指标最小。矩阵Q和R的大小虽与无裂纹转子系统的稳定性无关,但他们的大小决定了系统振动的大小。

　　图2和3分别表示当q=1,不同r的情况下,裂纹对带主动电磁阻尼器转子系统稳定性和不平衡响应的影响。结果表明,在裂纹出现后,带主动电磁阻尼器转子系统的稳定性与q和r的大小有关,在有些情况下裂纹可能会导致原来的控制系统失去稳定性。带主动电磁阻尼器转子系统的振动越大,或q/r的值越小,裂纹出现后导致系统出现不稳定的概率越高。因此,选择矩阵Q和R的一般原则是尽可能地减小转子系统的振动,保证主动电磁阻尼器能有效地对转子的振动进行控制,以达到裂纹出现后原来的系统仍然能稳定工作的目的。

　　由于裂纹会使带主动电磁阻尼器的转子系统中产生潜在的不稳定,因此在控制器的设计中应该基于周期时变系统来进行。只有通过这种方式,最优控制才可以使裂纹出现后转子系统仍然保持稳定并使转子的振动最小。周期时变系统的控制问题非常复杂,可见Anton和Ulbrich,Sinha和Joseph等人的工作[13,14]。

　　3.2　主动电磁阻尼器裂纹转子系统的不平衡响应

　　在给定的裂纹深度,不同的q和r值对带主动电磁阻尼器裂纹转子系统不平衡响应的影响如图4所示。图中虚线表示q/r=1;虚线以下的各线q/r分别为5,10,20,50和100;虚线以上各线q/r分别为1/5,1/10,1/20,1/50和1/100。结果表明,在带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统中主临界共振(Ω≈1)和亚临界共振(Ω≈1/3, 1/2…)是否出现主要与加权矩阵Q,R值或q/r的比值有关。

　　图5给出了Q值小R值大即q/r值较小时,裂纹深度对带主动电磁阻尼器转子系统不平衡响应的影响。Q值小R值大意味着在设计主动电磁阻尼器的控制器时,过多地关注主动电磁阻尼器的能力,而较少地关注主动电磁阻尼器能否有效地控制转子系统的振动。那么主动电磁阻尼器对转子系统的影响就较弱,带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统的主临界共振和亚临界共振将同时出现,并在略低于无主动电磁阻尼器的裂纹转子系统相对应的转速位置。在转速比Ω分别为0.3和1.5时,转子系统的运动轨迹、响应中的谐波分量随裂纹深度的变化分别如图6和7所示。图中箭头方向表示裂纹深度增加的方向。

　　在亚临界区,随着裂纹深度的增加,即kξ/ko的减小,转子运动轨迹也随之发生明显的变化,响应中的2倍和3倍超谐波频率成分增大,特别在次临界转速区,变化比较明显。因此,这种情况下仍然能够采用传统的用响应中的2倍和3倍超谐波频率成分来作为判断带主动电磁阻尼器转子系统是否存在裂纹的特征参数。

　　在超临界区,随着裂纹深度的增加,转子运动轨迹的变化不太明显,响应中的2倍和3倍超谐波频率成分很弱。因此,这种情况下采用响应中的2倍和3倍超谐波频率成分的大小来判断带主动电磁阻尼器转子系统是否存在裂纹就很困难。

　　当Q值大R值小即q/r值较大时,也就是说在设计主动电磁阻尼器的控制器时,主要的目的在于用主动电磁阻尼器来有效地控制转子系统的振动,这正是采用主动控制所期望的结果,而认为主动电磁阻尼器是一个理想的执行装置,可以提供足够大的控制力。图8给出了转子系统的振动得到有效控制的情况下,转子系统的不平衡响应随裂纹深度的变化。这时,转子系统的振动完全被控制,主共振根本没有出现。如果q/r不是太大,在不平衡响应曲线的亚临界区,只有裂纹很深时才会出现一个峰,但峰值的位置并不在1/2和1/3临界转速处。如果q/r非常大,即使裂纹深度非常大,在亚临界区也没有出现峰值。图9和10分别为在转速比Ω分别为0.3和1.5时,转子系统的运动轨迹及响应中的谐波分量随裂纹深度的变化。

　　在亚临界区,随着裂纹深度的增加,转子运动轨迹以及响应中的2倍和3倍超谐波频率成分也随之增大,特别在亚临界区,变化比较明显。但在超临界区,转子的运动轨道根本没有变化,响应中的也没有2倍和3倍超谐波频率成分出现。q/r越大,超临界区转子的运动轨道变化越小。这时不可能根据Imam等提出的在超临界区内采用响应中的2倍和3倍超谐波频率成分来对带主动电磁阻尼器的转子系统的裂纹进行检测[15]。

　　因此对于Q和R不变的控制器,带主动电磁阻尼器的裂纹转子系统,仅在亚临界转速区能够用响应中的2倍和3倍超谐波频率成分可以用来诊断主动转子系统中是否存在裂纹。如果控制器中Q和R随着裂纹深度的增加或转子振动的增加而变化,那么在亚临界转速区内响应中的2倍和3倍超谐波频率成分将不会总是随着裂纹深度的增加而增大,因而也就不可能在亚临界区内采用响应中的2倍和3倍超谐波频率成分来对带主动电磁阻尼器的转子系统的裂纹进行诊断。

　　4　结　论

　　在设计主动电磁阻尼器的控制器时就应该考虑到裂纹对转子系统的影响,否则如果转子出现裂纹,会导致带主动电磁阻尼器的转子系统失去稳定性。

　　带主动电磁阻尼器裂纹转子系统的动力特性远比传统裂纹转子系统的动力特性更为复杂。仅能够利用在亚临界区响应的2倍和3倍超谐波频率成分来诊断主动转子系统中是否存在裂纹,不能够在超临界区利用这种传统的方法来诊断裂纹。

　　对于更复杂的控制算法,例如H∞、鲁棒自适应控制、变结构控制等,在亚临界区的2倍和3倍超谐波频率成分不会总是随着裂纹深度的增加而增大,因而在带有主动电磁阻尼器的转子系统中对裂纹进行诊断将变得非常困难。

　　参考文献:

　　[1]　Schweitzer G, Maslen E H. Magnetic Bearings Theo-ry, Design and Application to Rotating Machinery[M]. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009.

　　[2]　Wauer J. On the dynamics of cracked rotors: a litera-ture survey[J]. Applied MechaNIcs Reviews,1990, 43(1):13—17.

　　[3]　Gasch R. A survey of the dynamics behaviour of asimple rotating shaft with a transverse crack [J].303Journal of Sound and Vibration, 1993, 160 (2):313—332.

　　[4]　Papadopoulos Chris A. The strain energy release ap-proach for modeling cracks in rotors: a state of the artreview [J]. Mechanical Systems and Signal Process-ing, 2008, 22(4):763—789.

　　[5]　Maszynska A. Shaft crack detection[A]. Proceedingsof the 7th Machinery Dynamic Seminar[C].Edmon-ton, Canada, 1982.

　　[6]　Sinou J J. Detection of cracks in rotor based on the2×and 3×super-harmonic frequency componentsand the crack—unbalance interactions[J]. Communi-cations in Nonlinear Science and Numerical Simula-tion, 2008, 13(9):2 024—2 040.

　　[7]　Ishida Y. Cracked rotors: Industrial machine case his-tories and nonlinear effects shown by simple Jeffcottrotor [J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2008, 22(4):805—817.

　　[8]　Gasch R. Dynamic behaviour of the Laval rotor with atransverse crack[J]. Mechanical Systems and SignalProcessing 2008,22 (4):790—804.

　　[9]　Mayes W, Davies W G R. Analysis of the response ofa multi-rotor-bearing system containing a transversecrack in a rotor[J]. Journal of Vibration, Acoustics,Stress and Reliability in Design, 1984, 109(1):139—145.

　　[10] Nelson H D,Nataraj C. The dynamics of a rotor sys-tem with a cracked shaft [J]. Journal of Vibration,Acoustics, Stress and Reliability in Design, 1986, 108(2):189—196.

　　[11] Zhu C S,Robb D A,Ewins D J. The dynamics of acracked rotor with active feedback control system[A]. Proceedings of the 8th International Symposiumof Magnetic Bearings[C]. ETH, Zurich, 2000. 323—330.

　　[12] Guilhen M, Berthier P, Ferraris G,et al. Instabilityand unbalance response of asymmetric rotor-bearingsystems[J]. Journal of Vibration, Acoustics, Stress,and Reliability in Design, 1988, 110(33):288—294.

　　[13] Anton E, Ulbrich H. Active control of vibrations inthe case of asymmetrical high-speed rotors by usingmagnetic bearings[J]. Journal of Vibration, Acous-tics, Stress and Reliability in Design, 1987, 109(4):410—415.

　　[14] Sinha S C, Joseph P. Control of general dynamic sys-tems with periodically varying parameters via Lia-punov Floquet transformation[J]. Journal of DynamicSystem Measurement and Control, 1994, 116 (4):650—658

　　[15] Imam I, Azzaro S H. Banket R J,et al. Developmentof an on-line rotor crack detection and monitoring sys-tem[J]. Journal of Vibration, Acoustics, Stress andReliability in Design, 1989, 111(3):241—250.

上一篇 : 暂无             下一篇 : 烤地瓜机 烤地瓜机烤地瓜的原理