摘要：调焦过程可分为调节物距、调节像距和移动镜头三种情况。基于几何光学关系，推导了三种情况下的弥散斑半径和横向放大率与离焦量的关系。利用数字图像处理方法，模拟了这两个因素对自动调焦评价函数的作用，表明弥散斑的扩散在焦前焦后呈现对称影响，而横向放大率的影响则沿光轴单调下降，二者叠加，造成峰值两侧的不对称。当光学系统 F 数增大时，调焦评价函数变得平缓，从而使横向放大率的影响变得显著，最佳像面因此向焦前偏移。利用 CCD 成像的实验证明了上述观点。

　　引 言

　　由几何光学，平行光经过理想的光学系统会聚在焦面上一点，而在偏离焦面的位置上呈现弥散斑，弥散斑的形状与光学孔径形状相似。根据波动光学理论，在无像差的光学系统中，由于衍射的存在，轴上物点通过光学系统其能量会散开而不能得到理想的像点，其亮度分布为点扩散函数。此外，实际的光学系统往往会遇到许多无法完全校正的像差。综合以上因素，最后到达焦面的像会出现能量扩散，致使对比度下降、像质变差[1]。调焦所要解决的问题主要是获得最小的弥散斑，而无法超越衍射、像差和镜头制造装配等因素的影响。对于轴外物点，离焦除了带来像点弥散，还有横向放大率的变化。

　　W. Kesseler 建立了完整的利用面阵 CCD 的自动调焦系统的解析模型，建立了像素微分类和带通能量类的评价函数在离焦下的解析式，在焦前焦后因为横向放大率影响而呈现非对称性[2]。裴锡宇等利用几何光学关系建立了弥散半径与物距离焦量的关系[1]。O. Ghita 建立了弥散半径与像距离焦量的关系[3]。

　　1 弥散圆半径和横向放大率与离焦量的表达式

　　调焦相关的元件包括物、镜头和像屏。为了问题的简化，假定离焦是其中一个元件偏离了共轭关系引起的，这样离焦就可以分为由物、镜头和像屏引起这三种情况。调焦过程就是沿光轴通过移动这个元件来恢复共轭，因此调焦过程也就可以相应地分为

　　1) 移动物体：这时物距改变，像距不变;显微镜调焦时沿光轴移动载物台采用这种方式;

　　2) 移动像屏：这时物距不变，像距改变;风云二号扫描辐射计的可见通道采用此种方式;

　　3) 移动镜头：这时物距像距都改变，但两者之和不变;此种方式应用相当广泛。由于红外探测器往往要与笨重的制冷机安装在一起而不便移动，风云二号的红外和水汽通道也采用了此种调焦方式。以下通过几何光学关系推导三种离焦情况中弥散斑大小 r 和横向放大率β 与离焦量的关系，隐含的物距像距满足共轭关系，设物体的位移为u，像屏的位移为 v，镜头的位移为l，D 为光瞳直径。

　　1) 物距改变，像距不变。当物距改变u，像距需相应改变 v 才能满足新的共轭关系;而如果像距不变，就会在像面产生半径为r的弥散圆

　　从上述(2), (5), (9), (10)式可以看出，在离焦量很小时，弥散半径 r 近似与离焦量 u、 v 和 l 成正比;式中都有光瞳直径 D 的存在，D 也与弥散半径 r 成正比，可以认为孔径 D 的变化也是一种调焦。

　　2 数字图像处理的模拟实验

　　实际的调焦过程中，弥散斑和横向放大率总是在同时对调焦评价函数产生影响，为了分析各自的作用，进行了数字图像处理的模拟实验。

　　2.1 弥散斑变化对调焦评价函数的影响

　　数字图像处理中的高斯模糊算法，是将某个像素的灰度值以指定的圆周范围二维高斯分布，因为高斯分布的参数δ 与弥散斑半径 r 成正比[1]，所以可用高斯模糊来模拟离焦导致的弥散效应。使用 PhotoShop 7.0中的高斯模糊(Gaussian blur) 滤镜，对图像进行半径为 0.5~3.0 个像素的模糊操作，见图1，然后应用调焦评价函数逐个计算。结果表明，随着模糊半径的增大，评价函数得出图像像质变差，如图2。

　　2.2 横向放大率对调焦评价函数的影响

　　使用MATLAB 6.5 的 imresize 函数可以对图像实现缩放操作，其中双三次插值效果最好。对实验的原始图像以98.0%、99.0%、101.0%和 102.0%的比例进行双三次插值缩放。缩放后图像的尺寸略有变化，为保持像素一致，参照 98.0%的图像的宽、高对其他图像进行剪切，然后依次对这一序列图像应用评价函数，结果表明，随着图像的放大，函数得出像质变差的结论。图像放大后线条间距变大，空间频率必然降低。

　　2.3 小结

　　综合上述两个方面，弥散斑的变化在焦前焦后产生对称影响，而横向放大率则表现出单调的影响。两种影响的结果叠加，将使调焦评价函数呈现焦前焦后的斜率不一致，靠近光学系统端(焦前) 的上升较缓慢，越过焦面后，函数的下降略陡一些。

　　由几何光学相似三角形关系，横向放大率与光学系统孔径无关，但在F 数增大时，弥散斑的变化减弱，表现为系统焦深增加，造成评价函数变化平缓，同时横向放大率的影响就会相对明显。根据函数叠加的原理，评价结果将向焦前偏移。

　　3 实验结果与分析

　　使用焦距为25mm、最大光圈为1.4 的摄影物镜，对室内平面目标进行了利用可见光 CCD 和视频采集卡的自动调焦评价函数的实验。使用的评价函数有：绝对值梯度、平方梯度、Tenengrad、Laplacian[4]算子和 Vollath-4[5]等算法。得到的评价曲线都呈现出单峰性，表1 比较了评价函数曲线的峰值两侧的下降速率(绝对值)，用来对比在焦前焦后等长且关于峰值点对称的区间。可以看出，除了绝对值梯度算法的B 区间由于误差影响出现焦前斜率大于焦后斜率，其他算法呈现出的两侧下降速率的差别与理论分析一致。

　　实验还发现，镜头的不同孔径对同一目标成像具有不同的最佳像面位置，大的 F 数较小的 F 数的最佳像面远离光学系统。图4 中 F2.8 较 F1.4 的最佳像面远离光学系统 60μm，F5.6 较 F2.8 的最佳像面又远离60μm，F8 与 F5.6 则没有明显变化。这可以从两个方面来解释：一方面，从前面小结的分析中，F 数增大使得由于弥散带来的影响变得平缓，而横向放大率的单调性影响变得相对显著，其叠加结果造成焦面向焦前偏移;另一方面，由于光学系统像差的存在，近轴与轴外的焦面通常不一致，较小的孔径可以认为是近轴系统，而孔径增大则使得轴外光线的聚焦影响近轴聚焦，造成焦面偏移，其方向通常因具体系统而异。

　　4 结 论

　　通过上述的分析，离焦对自动调焦评价函数带来的影响，主要来自于弥散斑和横向放大率的变化。利用数字图像处理方法的模拟表明，弥散斑的变化在焦前焦后对称，使评价函数呈现单峰性;而横向放大率对评价函数的影响呈现单调性，二者叠加使得评价函数在峰值两侧不对称。弥散斑的变化与 F 数相关，随着 F 数的增大，弥散斑对评价函数的影响逐渐平缓，横向放大率的影响就会相对明显，并使评价结果向焦前偏移。实验中已经检测到了这一现象，进一步的研究可以将光学系统因像差带来的焦面偏移定量化，如此便分离出 F 数变化带来的偏移，以作定量化分析。

　　参考文献：

　　[1] 裴锡宇，冯华君，李 奇，等. 一种基于频谱分析的离焦深度自动对焦法[J]. 光电工程，2003，30(5)：62-65.PEI Xi-yu，FENG Hua-jun，LI Qi，et al. A depth from defocus auto-focusing method based on frequency analysis [J]. Opto-ElectroNIc Engineering，2003，30(5)：62-65.

　　[2] Wolfgang KESSELER，Jan FISCHER. Analytical model of autofocus system with CCD camera[J]. SPIE，2000，3965：369-380.

　　[3] Ovidiu GHITA，Paul F. WHELAN. A bin picking system based on depth from defocus[J]. Machine Vision and Applications，2003，(13)：234-244.

　　[4] Ng Kuang Chern. NATHANIEL，Poo Aun NEOW，Marcelo H. ANG JR. Practical Issues in Pixel-basedAutofocusing forMachine Vision[A]. Proceedings of the 2001 IEEE：International Conference on Robotics & Automation[C]. SeoulIEEE，2001. 2791-2796.

　　[5] A. SANTOS，C. ORTIZ DE SOLóRZANO，J. J. VAQUERO，et al. Evaluation of autofocus functions in molecular cytogeneticanalysis[J]. Journal of Microscopy，1997，188(3)：264-273.

　　作者简介：原育凯(1979-)，男(汉族)，山西晋城人，硕士生，主要研究方向为遥感卫星光学系统的自动对焦。E-mail: ykyuan@ustc.edu

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