0 引言

    科氏质量流量计（简称科氏流量计）的密度测量是基于测量管无液体时的空载谐振频率和有液体时的谐振频率得来的[1]，其关系式为：

    其中：ρf为测量管内液体密度，KC为测量管的特征系数，f0为无液体时的谐振频率，f为有液体时的谐振频率。不考虑温度变化时，KC，f0都是固定值。当测量管充有液体时，测得测量管的谐振频率f，从而测得密度ρf。传统的观点认为，科氏流量计的密度测量不受管内液体流速的影响，而实际上，即使是同种液体，载流时液体流速的不同会导致测量管谐振频率的变化，从而导致密度测量的不准确[2]。

    针对流速对管道固有频率的影响，佟明君等人作过分析[3]，其采用QR法分析了简支管道前四阶固有频率与流速的关系，除此之外，许萍等人也作过类似的分析[4]，但是他们均未考虑管道弯曲时的剪切作用，其分析结果在理论上是偏大的。该文利用Hamil2ton原理，推导了考虑剪切影响的直管科氏流量计测量管道固液耦合振动的有限元方程，对不同流速下的不同约束的测量管道一阶固有频率进行了计算，找到了管道固有频率随流速增大而降低的一般规律，而当流速提高到管道临界流速时，管道失稳。

    1 单元模型的建立

    不考虑管道内液体压强的影响，如图1所示，长度为L的管道单元两端的节点为1，2，两节点的位移状态由节点位移和转角决定，分别用y，θ表示，则单元内任一点的位移和转角以及剪切角为：

    其中：Ny=[Ny1Ny2Ny3Ny4]，Nθ=[Nθ1Nθ2Nθ3Nθ4]，Nβ=[Nβ1Nβ2Nβ3Nβ4]为形函数矩阵，{y}=[y1θ1y2θ2]T为节点位移列阵。

    求得待定系数

    2 利用Hamilton原理求解单元矩阵

    管道单元动能为测量管的动能加上液体的动能，即为：

    管道单元的势能为（液体不可压缩，其势能为0）

    式中I为管道的横截面惯性矩，If为管道内液体的横截面惯性矩。mp为单位长度管道质量，mf为单位长度液体的质量。ρ，ρf分别为管道和液体的密度，v为液体流速。

    Hamilton原理为：对于任何有势力作用下的完整系统的质点系，在给定始点t0和终点t1的状态后，其真实运动与任何容许运动的区别运动使泛函

    达到极值，即

    其中：单元质量矩阵

    除了单位长度管道与液体的总质量以外，还有由于剪切变形导致的回转运动所附加的质量矩阵，其为对称阵。

    单元阻尼矩阵
    即为固液耦合阻尼矩阵，由于科里奥利效应导致的量纲与真实阻尼一样，但是不起阻尼作用，为反对称阵。

    单元刚度矩阵
    包括单元弯曲剪切矩阵和固液耦合刚度矩阵，为对称阵。

    根据上述即可求得各单元矩阵的元素。

    3 算例

    给出所要进行计算的输液管道的参数，管道长度为l=0.5m，截面外径d0=0.0095m，壁厚s=0.001m，管道材料密度ρ=8000kg/m3，弹性模量E=208GPa，取水和四氯化碳两种不同液体，水的密度取ρf=1000kg/m3，四氯化碳密度取ρf=1595kg/m3。管道材料泊松比μ=0.3，剪切系数k=0.5。

    当管道单元长度化分后，以及管道各参数和液体速度已知之后，利用单元质量阵、单元阻尼阵以及单元刚度阵的算式计算各矩阵元素值，并按Ma2trix27单元所要求的格式输人这些值，即可实现有限元的分析[5]。

    为了验证有限元的准确性，先用解析法计算了不同约束条件下液体分别为水和四氯化碳，而流速为0时管道的前两阶频率，与有限元法的计算结果作了比较。见表1（为了说明不同约束的情况，将悬臂管道也进行了计算，实际上质量流量计的约束条件无悬臂情况）。由表1和表2可以看出所采用的有限元法的计算结果是准确的，说明有限元模型可以模拟测量管的实际状态，二阶模态的差异比一阶模态大。

    为了比较不考虑剪切和考虑剪切的模型对频率计算的影响，对不同约束条件下液体为水和液体为四氯化碳的流速为0的管道的前两阶频率用有限元法进行计算，结果见表3、表4。

    由表3、表4可见，考虑剪切的模型比不考虑剪切的模型结果要小一些，这与理论分析中由于加入剪切影响后相当于测量管的刚度减小导致频率降低的结论是一致的。悬臂管道的两种模型计算值相对偏差小，两端简支管道次之，两端固支管道相对偏差最大。就是说剪切效应对两端固支的固有频率影响最大，简支的次之，悬臂的最弱。而且对二阶固有频率的影响比对一阶的大。

    ANSYS的模态分析DAMP（阻尼法）的特征值的虚部代表系统的稳态角频率。特征值的实部代表系统的稳定性。如果不存在阻尼，特征值的实部将为零。在分析时，当流速小于临界流速时，特征值的实部均为零，也说明了所讨论的单位阻尼矩阵并非真正的阻尼阵，只是与阻尼阵有相同的量纲，并不起真正的阻尼作用。当流速大于临界流速时，特征值的实部不再为零，说明管道失去了稳定性。

    利用ANSYS模态分析中的Damp法分别计算了两种不同液体不同流速下的各约束条件测量管道的固有频率，图2分别为3种约束条件下两种不同液体的管道一阶固有频率随流速变化的曲线。

    由图中可以看出：当管道内液体速度增大时，管道的固有频率减小，当流速增大至临界流速时，管道频率减小至0，管道失去稳定性。

    对同种液体，管道的临界流速随着管道的支撑刚度提高而增大，在液体为水的情况下，计算得到的悬臂管道，两端简支管道，两端固支管道的临界流速分别为107m/s、214m/s、425m/s；在液体为四氯化碳的情况下分别为84m/s、168m/s、336m/s。

    对相同的约束条件，管道的临界流速随着液体密度的增大而减小，液体为四氯化碳的临界流速小于液体为水时的临界流速。

    4 结论

    在考虑管内液体的情况下，给出了考虑剪切的直管科氏流量计测量管道弯曲振动的有限元方程。分析结果表明：随着液体速度的增大，管道固有频率降低，说明在直管质量流量计中，流速对密度的测量是有影响的。因此在设计科氏流量计时，应该使流速对管道固有频率的影响降到最低，以提高密度的测量精度，或者加入适当的补偿系数来修正所测量的密度。有关分析方法与结论对以后研究流速对弯管科氏流量计的影响打下了基础。

    参考文献：

    [1]张鹏，任建新，任思聪。质量流量计测量液体密度的特性分析[J]。工业仪表与自动化装置，1995，（5）：3-6。
    [2]仝猛。科氏质量流量计理论与应用研究[D]。西安：西北工业大学，2003。
    [3]佟明君，赵树山，王世忠。输送流体管道的固液耦合振动分析[J]。哈尔滨理工大学学报，2004，9（2）：135-138。
    [4]许萍，李著信，蒋忠。液体输送管道固液耦合振动的有限元分析[J]。管道技术与设备，2004，（2）：3-5。
    [5]邓凡平。ANSYS10.0有限元分析自学手册[M]。北京：人民邮电出版社，2007。

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