1　模型及理论分析

　　图1是介质加载闭式圆柱谐振腔的结构示意图。相对介电常数为εr,损耗角正切为tanδ的圆柱形介质样品紧密填充在腔内半径为R2、长度为2d的谐振腔内。谐振腔两个端面的中心处开孔,外接内半径为R1,长度为b的截止波导,该截止波导与同轴线相连,并由同轴线伸出的探针来实现整个腔体的激励与测量。

　　鉴于模型关于坐标原点的中心对称性,将此模型对称地分为Ⅰ区和Ⅱ区,如图1所示。Ⅰ区由相对介电常数为εr的介质样品填充,Ⅱ区由空气填充。根据中心对称面的特性(电壁或者磁壁),谐振腔内将存在2种模式的场:中心对称面为电壁的TM0mn模和中心对称面为磁壁的TM0mn模。通过求解电赫兹矢量的纵向分量所满足的标量亥姆霍兹方程[6-7],可得场分布方程。

　　Ⅰ区,中心对称面为电壁的场分布为

　　同理可以解得中心对称面为磁壁条件下的特征值方程与式(8)具有相同的表达式,但其对应的矩阵元因中心对称面边界条件由电壁变为磁壁而发生相应的变化。中心对称面为磁壁时的矩阵元为

　　从特征值方程式(8)可以看出:本征谐振频率与介质相对介电常数的关系决定于系数矩阵行列式的值是否为0,通过实验测定谐振频率再代入式(8)就可以确定介质的相对介电常数。而一旦确定了介质的相对介电常数,就可由矩阵方程式(7)解出系数向量C=[C1,C2,C3,…],由模式系数与口径场的关系进而可以得到谐振腔内各分区的场分布以及谐振腔的储能和腔壁损耗。用W1,W2分别表示该模型Ⅰ区和Ⅱ区中电磁场的能量,Pc表示传导损耗,则介质的损耗角正切为

　　根据谐振腔的等效电路理论,QL,β1和β2三者是与测量系统的散射参数相关的量。为此,本文采用如图2所示测量系统的等效电路[8-9]来描述谐振腔的工作特性,其中,Rc代表外接负载的内阻,Rsp,Xsp(p=1,2)分别代表各端口的耦合电阻和电抗。

　　从等效电路不难看出,该测量系统是3个双口微波网络的级联。因此,容易用级联形式的ABCD矩阵来描述网络参数。利用散射矩阵参量同转移矩阵参量之间的关系可得

耦合时的谐振频率。通过合理地调节探针端面的位置,可以使得ωL≈ω0。如图3所示,当b>1.5 mm时,谐振腔的中心谐振频率与假定理想电壁面的位置无关,此时若在谐振腔两端接入测量回路,谐振器与外电路仅处于弱耦合状态,外负载的影响可以避免,从而使得测量得到的谐振频率等于谐振腔的中心频率,但系统的耦合又不应太弱,以便能从噪声中鉴别出谐振线,并尽可能提高测量数据的信噪比。因此,在实际测量过程中,探针端面位置的选择必须综合考虑。

　　注意到a2是谐振点处的散射参数,Spqd为失谐点处的散射参数值。在史密斯圆图上失谐点与其对应的谐振频率点的散射参数值正好构成Spq参数圆直径上的两个端点。因此,各散射参数在史密斯圆图上所形成的圆曲线的直径为

　　通过采用带权重的最小二乘法[10],将矢量网络分析仪测得的各散射参数用式(13)拟合在史密斯圆图上,便可从拟合系数a1,a2,a3获得系统有载品质因数和失谐点的散射参数值

　　图4给出了反射系数S11,S22的失谐值Sppd与耦合损耗圆的关系[8-9]。耦合损耗圆外切于史密斯圆图的开路点(0,1)和反射系数的失谐点Sppd,其直径为

　　因此,根据式(12),(15),(17)就可以确定系统的无载品质因数Q0。在以上所述的拟合曲线圆测量系统无载品质因数的方法中,我们使用了散射参数的多个测量点进行圆曲线的拟合,避开了传统3dB方法仅利用散射曲线上三点进行测量的不足,有效降低了系统噪声的影响;同时在等效电路中考虑了耦合器件本身以及器件连接处的损耗和电抗的影响,故对品质因素的测量具有较高的精度。对于高Q谐振腔,该精度值可达到1%左右[8-9]。

　　2　实验装置与测量结果

　　微波介质材料复介电常数的测量装置如图5所示,整个测量系统由Angilent矢量网络分析仪、圆柱谐振腔,一定厚度的介质样品以及一些相应的转接头和传输线组成。其中谐振腔的内半径设计成25 mm,谐振腔中心开孔大小与N型转接头N/SMA-50KK/50KJ大头端的内径一致(R1=4.2 mm),激励探针的端面位置选择在b=1.5 mm。

　　利用Angilent矢量网络分析仪的扫频测量功能,本文对谐振腔内完全填充40 mm厚高分子量聚乙烯板时的散射参数进行了测量。图6给出了测量得到的S21参数的频率响应曲线,其中各分立尖峰对应于各个不同的谐振模式,峰值点对应的频率即为谐振频率,用式(8)可以计算出各个谐振频率点处对应的相对介电常数。

　　由式(11)可知损耗角正切的正确测量还依赖于另一个参数:谐振腔腔壁材料的电导率。因此,在测量介质样品微波损耗之前必须先对谐振腔腔壁电导率进行标定,这可通过测量空腔情况下谐振模式的品质因数来实现。只要在复数域上将网络分析仪测得的散射参数按式(13)拟合在史密斯圆图上,从拟合系数a1,a2,a3便可求得反射系数圆曲线的直径和与其对应的耦合损耗圆直径,进而由式(12)与(17)可求得系统的无载品质因数Q0。图7给出了该谐振腔第一模式即TM010模的散射参数在史密斯圆图上的拟合结果,其中SPLC,Splf,Spld分别对应于各散射参数在史密斯圆图上的圆心、谐振频率点和失谐点。对应于此模式,谐振频率为3.034 8GHz,有载品质因数为1 778,耦合系数β1和β2分别为0.083 19与0.273 57,因此系统的无载品素因数为2412.3。

　　表1给出了半径25 mm,高度为40 mm柱形高分子板在3~6 GHz频率范围内的测试结果。在此频率范围内,高分子聚乙烯板的相对介电常数εr=2.30±0.05,损耗角正切tanδ=(1.8~2.0)×10-4。

　　3　误差分析与讨论

　　使用Angilent矢量网络分析仪对介质加载圆柱谐振腔谐振频率的测量具有较高的精度,其重复测量偏差不超过1‰。因此介质相对介电常数的测量误差主要来源于式(8)数值计算的准确度,一般来说,这种误差可以控制在1%之内。在微波损耗测量方面,当谐振时,绝大部分电磁场能量储存在样品中,而谐振腔内的电磁场在Ritz-Galerkin方法下是严格可解的,因此损耗角正切的误差主要取决于谐振腔无载品质因数测量的精度以及腔体材料电导率标定的准确度。由式(11)可得

式中:Rs为谐振腔腔壁的集肤电阻,式(19)等号右边各符号上打撇表示空腔情况下的物理量。在实际的测量过程中,电磁场能量数值计算的误差可控制在1%之内,而品质因数的相对误差在1%~2%,由表1的测量结果以及式(18),(19)可知,高分子量聚乙烯板损耗角正切的相对误差在5%~10%。式(18)同时也表明:对谐振腔的内表面进行无氧化或者镀银处理,即提高谐振腔的电导率将有助于提高谐振腔的无载品质因数,使得介质损耗角正切的测量具有更高的精度。

　　测试过程中同时发现,样品尺寸对品质因数的测量结果有较大的影响。如果介质样品与腔壁之间存在一定的气隙,那么品质因数的测量结果会有一定的偏差,且放入谐振腔的介质样品两端面与谐振腔端盖接触的好坏以及谐振腔的嵌入端与谐振腔内壁连接的紧固与否都直接影响品质因数的测量,因此该测量方法必须保证介质样品与谐振腔内壁、谐振腔端盖与内壁之间有较紧密的连接。

　　4　结　论

　　本文详细阐述了一种基于闭式谐振腔TM0mn模式测量微波介质材料复介电常数的方法,研制并设计了一种由同轴探针对称激励的,能对具有一定厚度的介质样品在多波段进行宽频带测试的介质加载圆柱谐振腔,最后,建立了实验装置对常用微波介质材料进行了测试,其结果验证了该测量方法的有效性。从测试过程可知:该测量方法实现了一腔多模技术,具有测试频带宽的优点,容易获得被测样品的频率特性,因而对高功率微波领域中介质材料的选择与测试具有实际意义。

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　　基金项目:国家高技术发展计划项目

　　作者简介:程国新(1983—),男,硕士,从事介质高压绝缘和高功率微波窗射频击穿的研究; chenguoxin322@163.com。

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